Besaran skalar dan vektor

Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besaran (ukuran) dan tidak memperhitungkan arah layaknya panjang, waktu, massa, temperatur.

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai arah dan besar seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Notasi dan visualisasi

Vektor dapat digambarkan dengan memberi tanda panah pada titik ujungnya dengan memperhitungkan besar dan arahnya.

Vektor dinotasikan dengan memberi tanda panah pada variabel.

Besar sebuah vektor

Besaran vektor ditulis dengan modulus, seperti |AB|, dan bersifat positif. Jadi arah tidak diperhitungkan.

Vektor nol

Vektor yang titik awal dan akhirnya sama (bertepatan) dimana besar adalah nol dan arah tidak tentu. AB-> = O->, CD-> = O->

Vektor satuan (unit vector)

Vektor yang besarnya hanya satu, dimana |x| = 1.

Kesamaan vektor

Dua vektor adalah sama jika arah (parallel) dan panjangnya sama. Ini karena vektor tidak bergantung pada letak.

Perkalian dengan skalar

Perkalian vektor X-> dengan skalar k akan membuat sebuah vektor dengan arah X-> dengan k positif, dan <-X dengan k negatif. Nol (0) akan didapat jika k = 0.

Penjumlahan dua vektor

Jumlah dua vektor disebut vektor resultan.

Metode segitiga (tip-to-tail) - dengan menemukan titik awal satu vektor dengan titik ujung vektor kedua, resultan diperoleh dari sisi yang paling panjang

Metode parallelogram (tail-to-tail) - titik ujung kedua vektor bertemu, resultan didapatkan dari mencari panjang tengah parallelogram

Resultan beberapa vektor - resultan dicari dengan menjumlahkan resultan dari pasangan-pasanagan vektor dengan cara menyusun segitiga vektor

Berikut adalah sifat-sifat penjumlahan dua vektor

1. Komutatif (pertukaran)
2. Asosiatif (pengelompokkan)
3. Elemen identitas (vektor nol)
4. Invers tambah

Selisih dua vektor

Ingat kalau vektor AB-> = -(BA->)

Vektor posisi

Vektor posisi adalah vektor yang vektor dari sebuah titik sembarang ke titik pusat (origin) O.

Titik tengah (mid-point)

Vektor posisi dari titik formula pembagian

Berikut adalah derivasi dari rumus pembagian ruas garis. Jika m = n, maka rumus titik tengah digunakan.

Titik segaris (kolinear)

Titik kolinear adalah titik-titik yang berada di satu garis, mereka mempunyai gradien (k) yang sama. Ini berarti nilai k harus riil dan tidak nol.

Rumus dibawah bisa dilihat seperti y = mx + 0 = mx.

Vektor tak sejajar

Karena dua vektor tidak sejajar, jadi konstanta (gradien) kedua vektor adalah berbeda.

Jika ox + py = 0, jadi ox = -py, dan bisa dinyatakan bahwa o = p = 0.

Jika diberikan mx + ny = ox + py, maka bisa dinyatakan bahwa m = o dan n = p.

Vektor di bidang R²

Vektor kolom

Dalam vektor kolom, baris pertama merujuk kepada axis x; baris kedua pada axis y.

Cara mencari besar (magnitudo) vektor kolumn adalah dengan menggunakan Rumus Pythagoras pada segitiga yang ada di dalam bidang Cartesius.

Vektor kolom mempunyai sifat operasi yang mudah dan mirip dengan aritmetika biasa. Tambah dan kurangkan nilai-nilai yang berada di axis yang sama, x bersama x dan y bersama y.

Persamaan vektor dari garis lurus

Titik B adalah sebuah titik sembarangan pada garis lurus yang melewati A dengan vektor c->. Titik A dan B adalah kolinear.

Vektor di Ruang³

Seperti vektor pada R², vektor di ruang tiga menambahkan satu axis lagi yaitu axis z.

Dua vektor yang terletak pada bidang yang sama disebut koplanar.

Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector

Besar sebuah vektor R³ juga menggunakan rumus yang sama seperti pada vektor R².

Vektor satuan pada vektor R³ dinotasikan dengan x = j, y = j, dan z = k.

Perbandingan bagian/pembagian ruas bagian vektor dan koordinat

Pembagian ruas garis dengan perbandingan

Jika titik R membagi garis AB dengan perbandingan m : n, maka bisa dibilang bahwa AR : RB = m : n. Dimana AR dan RB searah serta m dan n mempunya tanda (+/-) yang sama.

Jika titik R kolinear dan berada diluar garis AB, maka AB : BR = AB : -RB = m : -n.

Jika titik R adalah titik tengah, maka AR = BR = m = n.

Pembagian dalam vektor

Pembagian dalam bentuk koordinat

Jika diketahui pada sebuah garis vektor A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂) dimana R(x_r, y_r, z) menghubungkan titik A dan B. Maka koordinat titik R adalah

Dasar perkalian skalar vektor

Dengan rumus perkalian dua vektor diatas (dot product), kita bisa menyimpulkan tiga hal yang pasti:

1. Jika θ < 90° (sudut lancip) maka a x b bersifat positif (+)
2. Jika θ = 90° (sudut lancip) maka a x b adalah nol (0)
3. Jika θ > 90° (sudut lancip) maka a x b bersifat positif (-)

Berikut adalah sifat-sifat perkalian skalar vektor

1. Komutatif (pertukaran)
2. Asosiatif (pengelompokkan)
3. Distributif (vektor nol)

Perkalian skalar vektor satuan juga dapat dirumuskan menjadi

Dari Rumus Pythagoras, kita bisa mendapat nilai dari mengkuadratkan vektor.

Sudut antara dua vektor

Referensi kepada diagram dibawah ini.

Proyeksi skalar ortogonal (proyeksi skalar)

Hasil proyeksi skalar adalah bilangan riil.

Proyeksi skalar a-> terhadap b-> berarti bahwa kedua vektor searah dengan b-> sebagai pusat proyeksinya, ini dinotasikan sebagai || a_b || atau | c | seperti yang terlihat di diagram atas.

Besar (magnitudo) vektor ortogonal

Besar (atau panjang) proyeksi vektor adalah nilai mutlak dari proyeksi skalar ortogonal a pada b.

Proyeksi vektor ortogonal

Proyeksi vektor a pada  b ditentukan oleh a_b = proyeksi skalar  x vektor satuan b